Um exercício interessante: reconhecimento de cônicas¶
Considere uma equação quadrática da forma $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0.$$
Você já deve saber que a representação dos pontos $(x,y)$ que satisfaem essa equação tem uma classificação bem detalhada: basicamente, com exceção de alguns casos degenerados, teremos ou uma elipse ou uma hipérbole ou uma parábola. São as famosas "cônicas", curvas que são obtidas na interseção de um plano com um cone duplo.
O procedimento mais comum usado para decidir qual dos casos temos, e para escrever uma equação mais "simpática" para essa cônica é usar autovalores e autovetores. Vamos fazer isso no exemplo abaixo.
Você pode trocar a equação que deve continuar funcionando (cuidado com algumas mudanças de coordenadas e com divisões por zero que podem aparecer no processo ao alterar os coeficientes).
A ideia do "reconhecimento de cônicas" é razoavelmente simples, mas os cálculos são bem chatos de fazer na mão.
A equação $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ pode ser reescrita em forma matricial como
$$\begin{pmatrix}x&y
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b/2\\ b/2&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y
\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}d&e
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}f\end{pmatrix}=0.$$
Como a matriz $\begin{pmatrix}f\end{pmatrix}$ é $1\times 1$, em geral não iremos usar a notação matricial e escrever somente $f$:
$$\begin{pmatrix}x&y
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b/2\\ b/2&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y
\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}d&e
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y
\end{pmatrix}+f=0.$$
Denote por $$A=\begin{pmatrix}a&b/2\\ b/2&c\end{pmatrix}.$$ Essa matriz satisfaz $A=A^t$, então pelo Teorema Espectral provado por Cauchy em 1829, existem matrizes $Q$ e $D$, sendo $D$ uma matriz diagonal, de modo que $$QD Q^{-1}=A,$$ o que é equivalente a $$D=Q^{-1}AQ.$$
Podemos construir as matrizes $Q$ e $D$ assim: a matriz $D$ é a matriz diagonal com os autovalores de $A$ e a matriz $Q$ é uma matriz cujas colunas são autovetores normais (de norma 1) de $A$, satifazendo $Q^t=Q^{-1}$. Após calculá-las, realizamos a mudança de coordenadas
$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=Q\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}.$$
Substituindo na equação da cônica, temos
$$\left(Q\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\right)^t \begin{pmatrix}a&b/2\\ b/2&c\end{pmatrix}Q\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}d&e
\end{pmatrix}Q\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}+f=0,$$
ou seja,
$$\begin{pmatrix}u&v
\end{pmatrix}Q^t AQ\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}d&e
\end{pmatrix}Q\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}+f=0.$$
Usando que $Q^tAQ=D$ a equação acima fica
$$\begin{pmatrix}u&v
\end{pmatrix}D\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}d&e
\end{pmatrix}Q\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}+f=0.$$
Se $$D=\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&\mu\end{pmatrix},$$ onde $\lambda,\mu$ são os autovalores de $A$, então escrevendo novamente a equação da cônica temos
$$\lambda u^2+\mu v^2+\alpha u+\beta v+f=0,$$ para alguns valores de $\alpha,\beta$. O próximo passo é completar quadrados para deixar a equação mais simples. Aqui é preciso tomar cuidado, e a teoria não pode ser tão geral, pois algumas condições degeneradas podem ocorrer ($\lambda$ ou $\mu$ serem zero, por exemplo). Vamos supor que $\lambda\neq 0$, $\mu\neq 0$ e seguir com as contas.
Reescrevemos a equação anterior como
$$\lambda\left( u^2+\dfrac{\alpha u}{\lambda}\right)+\mu \left(v^2+\dfrac{\beta v}{\mu}\right)+f=0.$$
Completando quadrados, temos
$$\lambda\left( u^2+\dfrac{\alpha u}{\lambda}\right)+\mu \left(v^2+\dfrac{\beta v}{\mu}\right)+f=0$$
e daí
$$\lambda\left( u^2+\dfrac{\alpha u}{\lambda}+ \dfrac{\alpha^2}{4\lambda^2} \right)+\mu \left(v^2+\dfrac{\beta v}{\mu}+\dfrac{\beta^2}{4\mu^2}\right)+f-\dfrac{\alpha^2}{4\lambda}-\dfrac{\beta^2}{4\mu}=0.$$
Agrupando tudo, ficamos com a equação
$$\lambda\left( u+\dfrac{\alpha}{2\lambda} \right)^2+\mu \left(v+\dfrac{\beta}{2\mu}\right)^2+\tilde f=0,$$ onde $\tilde f=f-\dfrac{\alpha^2}{4\lambda}-\dfrac{\beta^2}{4\mu}$.
Fazendo uma nova mudança de coordenadas para $w=u+\dfrac{\alpha}{2\lambda}$, $z=v+\dfrac{\beta}{2\mu}$ ficamos com a equacão $$\lambda w^2+\mu z^2+\tilde f=0.$$
Conhecendo os valores de $\lambda,\mu,\tilde f$ poderemos reconhecer a cônica! Vamos agora fazer os cálculos de tudo isso no Python, e depois fazer alguns gráficos.
